Considere que A = log₂(5.2^x + 1), B = log₄(2^1-x + 1) e C = 1, formam nesta ordem, uma progressão aritmética. Determine o valor de x.

SOLUÇÃO:
Seja a PA: (A, B, C). Sabemos que o termo médio é a média aritmética dos termos anterior e posterior a este. Logo:
B = (A + C) / 2
Substituindo os valores, vem:
log₄(2^1-x + 1) = [1 + log₂ (5.2^x + 1)].(1/2)
Multiplicando ambos os membros por 2, fica:
2.log₄(2^1-x + 1) = 1 + log₂(5.2^x + 1)
Vamos mudar o log na base 4, para a base 2. Vem:

Substituindo e simplificando, vem:

log₂(2^1-x + 1) = 1 + log₂(5.2^x + 1)
Lembrando que log₂2 = 1, substituindo, teremos:
log₂(2^1-x + 1) = log₂2 + log₂(5.2^x + 1)

Aplicando a propriedade de logaritmo de um produto, ou seja: o log do produto de dois termos positivos, é igual à soma dos log dos fatores, vem:
log₂(2^1-x + 1) = log₂[2(5.2^x + 1)]

Ora, sabemos que: log_bM = log_bN Û M = N (para M e N positivos, pois sabemos que não existe logaritmo de número real negativo ou nulo).

Então, poderemos escrever:
2^1-x + 1 = 2(5.2^x + 1)

Vamos resolver a equação exponencial acima:

Lembrando que 2^1-x = 2¹/2^x, vem:
(2/2^x ) + 1 = 2(5.2^x + 1)

Façamos 2^x = y. (Observe que y é positivo, já que é igual a uma potência de base 2). Substituindo, vem:
(2/y) + 1 = 2(5.y + 1) = 10y + 2

Multiplicando ambos os membros por y, vem:
2 + y = 10y² + 2y \ 10y² + y – 2 = 0

Vamos resolver a equação do segundo grau 10y² + y – 2 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara, vem:

Portanto y = (-1 + 9)/20 ou y = (-1 – 9)/20
Daí, vem: y = 8/20 = 2/5 ou y = -10/20 = -1/2
Como 2^x = y > 0, a raiz negativa (-1/2) não serve. Logo, o único valor que serve ao problema é y = 2/5.

Continuando e lembrando que 2^x = y, vem:
2^x = 2/5. Aplicando logaritmo na base 2 a ambos os membros, teremos:
log₂2^x = log₂(2/5)

Uma pausa: alguns poderão perguntar, porque a base 2? Ora, é a mais conveniente, neste caso!. Rigorosamente, poderíamos usar qualquer base, mas, a base 2, considerando-se o comparecimento do número 2 em ambos os membros, é a mais conveniente, agora. Se usássemos a base 7, por exemplo, iríamos complicar desnecessariamente a nossa vida! Eh eh eh ... , perceberam?

Teremos, então:
log₂2^x = log₂(2/5) \ x = log₂(2/5) = log₂2 – log₂5 = 1 – log₂5

Lembre-se que log_bb^m = m. Em caso de dúvida, visite o arquivo sobre LOGARITMO nesta página, clicando AQUI.

Portanto, x = 1 – log₂5 , que é a solução do problema proposto.

Paulo Marques

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