A equação cos(3x) - cos(x) = sen(2x) para x Î [0,2p ], possui m raízes. O valor de m é:

a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 3

SOLUÇÃO:

Sabemos que:

cos(p) – cos(q) = -2 sen[(p+q)/2] . sen[(p-q)/2]

Podemos escrever, desenvolvendo o primeiro membro da igualdade dada:
-2sen(2x).sen(x) = sen(2x)
-2sen(2x).sen(x) – sen(2x) = 0
Colocando sen(2x) em evidencia, vem:
sen(2x)[-2sen(x) – 1] = 0

Daí vem que:
sen(2x) = 0 OU –2sen(x) – 1 = 0
Então:
sen(2x) = 0 OU sen(x) = -1/2

Como sabemos que sen(2x) = 2sen(x)cos(x), podemos escrever:
2sen(x).cos(x) = 0 OU sen(x) = -1/2
Daí, vem:
sen(x) = 0 OU cos(x) = 0 OU sen(x) = -1/2

Portanto, teremos:
sen(x) = 0 Û x = 0 ou x = p
cos(x) = 0 Û x = p /2 ou x = 3p /2
sen(x) = -1/2 Û x = 210º = 7p /6 ou x = 330º = 11p /6 radianos.
O conjunto solução da equação trigonométrica no intervalo dado, é igual a:
S = { 0, p /2, p , 3p /2, 7p /6, 11p /6 }
Existem portanto seis raízes no intervalo dado, o que nos leva à alternativa C. 

Paulo Marques - Feira de Santana - BA

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