| Elementar, porém interessante |
Paulo Rubens estava viajando a uma velocidade constante por uma estrada, em companhia de seu pai Paulo Marques e, como o seu pai estava super atento ao volante, solicitou ao seu filho que fizesse algumas anotações com o objetivo de calcular a velocidade desenvolvida pelo veículo durante o percurso.
Paulo Rubens, efetuou as seguintes anotações:
1 – Às 13:00h, meu pai passou num ponto cujo marco da quilometragem, não consegui anotar. Entretanto, tenho certeza, que o marco indicava dois algarismos.
2 – Às 14:00h, meu pai passou em outro ponto, e, por uma dessas questões dificilmente explicadas apenas pela lógica do pensamento, num relance, percebi que o marco indicava os mesmos algarismos, porém numa ordem invertida.
3 – Intrigado com a coincidência, resolvi anotar a quilometragem do próximo marco, decorridos mais uma hora. Tive então, a surpresa de perceber que o marco indicava os algarismos observados às 13:00h, porém, com um zero intercalado entre eles.
Nestas condições, podemos afirmar que a velocidade do veículo era, em metros por segundo, igual a:
a) 20,5
b) 15,5
c) 13,5
d) 12,5
e) 10,5
Solução:
Consideremos o esquema a seguir:
Para resolver o problema, vamos utilizar o princípio do valor posicional dos algarismos, a saber:
Por exemplo: 72 = 10.7 + 2
Analogamente, podemos escrever:
xy = 10x + y
Logo,
yx = 10y + x
Também, é trivial que:
x0y = 100x + 0.10 + y.1 = 100x + y
Obs.: por exemplo, 203 = 100.2 + 10.0 + 1.3
Ora, sabemos que a velocidade é igual à distancia percorrida dividida pelo intervalo de tempo (v = d/t). Como os intervalos de tempo são unitários (1 h), teremos que, numericamente, v = d.
A distância percorrida na primeira hora (entre 13 e 14:00h) foi igual a:
d = (10y + x) – (10x + y) = 9y – 9x
A distância percorrida na segunda hora (entre 14 e 15:00h) foi igual a:
d = (100x + y) – (10y + x) = 99x – 9y
Como a velocidade é constante, teremos, já que neste caso, a velocidade é numericamente igual à distância:
99x - 9y = 9y – 9x
9(11x – y) = 9(y – x)
11x – y = y – x
11x + x = y + y
12x = 2y, logo y =
6x
Lembrando que x e y são necessariamente inteiros e positivos menores ou iguais a 9, pois os números xy e yx possuem dois algarismos cada, concluimos que o único valor possível para x é 1, o que implica y = 6.
Logo, o primeiro marco foi 16, o segundo 61 e o terceiro 106.
Ora, se o veículo passou no km 16 e após 1h, passou no km 61, ele percorreu 45 km em uma hora e, portanto, a sua velocidade era de 45 km/h.
Como o problema pede a velocidade em m/s
– metros por segundo – vem:
V = 45 km/h = 45000m/3600s = 450/36 = 12,5 m/s
Portanto, a alternativa correta é a letra D.
Paulo Marques,
Feira de Santana - BA - 12 de julho de 2003
Notas:
I):Editado em 17/03/2013.
II) Paulo Rubens é o meu primeiro filho.
III) Este arquivo é uma homenagem a Heitor, meu primeiro neto, nascido há dois dias.