| Um acidente em Votuporanga - SP |
Um acidente foi presenciado por 1/65 da
população de Votuporanga (SP). O número de pessoas que soube
do acontecimento t horas após, é dado por:
onde B é a população da cidade. Sabendo que 1/9 da população soube do acidente 3 horas após, então o tempo que passou até que 1/5 da população soubesse da notícia foi de:
a) 4 horas
b) 5
horas
c) 6 horas
d) 5 horas e 24 minutos
e) 5 horas e 30 minutos
SOLUÇÃO:
Pelo enunciado do problema, no
tempo t=0, o acidente foi presenciado por 1/65 da população B.
Fazendo então t=0 e
f(0) = [1/65].B, vem:
(1/65).B = B / (1 + C.e-k.0) . Logo, (1/65) = 1/(1 + C. e0)
e, como e0 = 1, vem:
(1/65) = 1/(1 + C); portanto, poderemos escrever que 65 = 1 + C, de onde conclui-se:
C = 64.
Também pelo enunciado do problema, é dito que para t=3, f(t) =
(1/9).B.
Substituindo os valores conhecidos, lembrando que C = 64, como
já calculamos acima, vem:
[1/9].B = B / [1 + 64.e-k.3]
Daí, vem:
9 = 1 + 64.e-3k Þ 1/8 = e-3k Þ 2-3 = (ek)-3 Þ ek = 2 Þ k = loge2 =
ln2
Nota: e = base
dos logaritmos neperianos.
Portanto, a função dada no enunciado da questão,
poderá ser escrita como:
Nota: já encontramos C = 64 e k = ln2, portanto ...
f(t) = B / [1 + 64.e-ln2 . t]
A função f(t)
expressa o número de pessoas que soube do acidente, no tempo t.
O enunciado pergunta: qual o
tempo que passou até que 1/5 da população soubesse da notícia
do acidente?.
Ora, basta fazer f(t) = (1/5).B e calcular o valor respectivo de
t.
Teremos então:
B/5 = B / [1 + 64.e-ln2 . t] Þ 4 = 64.e-ln2 . t
Þ 1/16 = e-ln2
. t Þ
16 = eln2 . t
Ora, sabemos que eln2 = 2 (em caso de dúvida na
transformação, veja logaritmos).
Portanto, teremos:
16 = 2t Þ 24 = 2t , de onde concluímos
t = 4.
Logo, a resposta é t = 4 horas, o que nos leva à alternativa A.
Nota: esta questão
compareceu no vestibular do ITA/93.
Paulo Marques - Feira de Santana - BA - 23 de junho de 1999- editado em 04/12/2009