| Uma questão sutil |
52 pessoas discutem a preferência por dois
produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número de
pessoas que gostavam de B era:
I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B;
II - O dobro do número de pessoas que gostavam de A;
III - A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem
de B.
Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos
dois produtos é igual a:
SOLUÇÃO:
Considere a figura abaixo, onde estão representados os conjuntos A e B, e a quantidade de elementos x, y, z e w.
Pelo enunciado do problema, poderemos
escrever:
x+y+z+w = 52
y+z = 4y
y+z = 2(x+y)
y+z = w/2
Desenvolvendo e simplificando, vem:
x+y+z+w = 52 (eq.1)
z = 3y (eq. 2)
z = 2x + y (eq. 3)
w = 2y + 2z (eq. 4)
Substituindo o valor de z da eq. 2 na eq.
3, vem: x = y
Podemos também escrever: w = 2y + 2(3y) = 8y
Expressando a eq. 1 em função de y, vem:
y + y + 3y + 8y = 52 e, daí vem: 13y = 52, de onde vem y = 4.
Temos então por simples substituição:
z = 3y = 12
x = y = 4
w = 8y = 32
A partir daí, é que vem a sutileza do
problema. Vejamos:
O problema pede para determinar o número de pessoas que não
gostam dos produtos A e B. O conectivo e indica que
devemos excluir os elementos da interseção AÇ B. Portanto, a
resposta procurada será igual a:
w + x + z = 32 + 4 + 12 = 48 pessoas.
A resposta seria 32 (como muitos acham como resultado), se a
pergunta fosse:
Quantas pessoas não gostam do produto A ou do produto B?
Perceberam a sutileza da pergunta: quantas pessoas não gostavam dos dois produtos, ou seja, não gostavam de A e B?
Resp: 48 pessoas
Paulo Marques - Feira de Santana - BA - 01 de maio de 2000