Um Sistema de Equações - ITA 96

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Se (x_o,y_o) é uma solução real do sistema:

log₂(x+2y) – log₃(x – 2y) = 2
x² – 4y² = 4

Então x_o + y_o é igual a:
A ( ) 7/4
B ( ) 9/4
C ( ) 11/4
D ( ) 13/4
E ( ) 17/4

Solução:

Observe que as bases dos logaritmos são distintas.
Esta questão, requer que o vestibulando esteja bem com as propriedades operatórias dos logaritmos e domine a técnica de mudança de base. Em caso de dúvida, consulte o arquivo sobre logaritmos, clicando no link acima.

Vamos desenvolver a expressão logarítmica:
log₂(x + 2y) = 2 + log₃(x - 2y) = log₃9 + log₃(x - 2y) = log₃[9(x - 2y)]

Vamos fatorar a segunda expressão do problema:
x² – 4y² = (x – 2y) (x + 2y)

Logo, (x - 2y)(x + 2y) = 4

Temos então o novo sistema transformado:

log₂(x + 2y) = log₃[9(x - 2y)] (equação1)
(x - 2y)(x + 2y)=4 (equação 2)

Substituindo o valor de x-2y da equação 2 na equação1, vem:

log₂(x + 2y) = log₃[36 / (x + 2y)]
log₂(x + 2y) = log₃36 – log₃(x + 2y)

Podemos escrever, mudando a base 3 para a base 2:
log₂(x + 2y) = log₂36 / log₂3 – log₂(x + 2y) / log₂3

Então:
log₂(x + 2y) = [log₂36 – log₂(x + 2y)] / log₂3
log₂(x + 2y). log₂3 = log₂[36 / (x + 2y)]
log₂(x + 2y).log₂3 – log₂[36 / (x + 2y)] = 0
log₂(x + 2y).log₂3 – [log₂36 – log₂(x + 2y)] = 0
log₂3.log₂(x + 2y) – log₂36 + log₂(x + 2y) = 0
log₂(x + 2y)[1+ log₂3] = log₂36
log₂(x + 2y)[log₂2+log₂3] = log₂36
log₂(x + 2y).log₂6 = log₂36
log₂(x + 2y) = log₂36 / log₂6 = log₂6² / log₂6 = 2.log₂6 / log₂6 = 2
log₂(x + 2y) = 2 Þ x + 2y = 4

Substituindo este valor na equação 2 acima, vem:
(x - 2y).4 = 4 Þ x - 2y =1

Logo, o sistema dado é equivalente a:
x + 2y = 4
x – 2y = 1

Somando membro a membro, vem: 2x = 5 Þ x = 5/2
Subtraindo membro a membro, vem: 4y = 3 Þ y = 3/4

Logo, como as soluções foram nomeadas no enunciado da questão como x_o e y_o, vem que a soma procurada vale: x_o + y_o = 5/2 + 3/4 = 10/4 + 3/4 = 13/4

Resposta: 13/4 (alternativa D).

Paulo Marques, Feira de Santana - BA

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