| Uma Equação de Quinto Grau |
Resolva a equação do 5º grau x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0.
Solução:
Observando atentamente o
primeiro membro da equação, verificamos que ele pode ser
fatorado como segue:
x3 (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) =
0 , de onde conclui-se que, colocando o termo comum em evidencia:
(x2 + x + 1) . (x3 + 1) = 0
Para que o produto acima seja nulo, deveremos ter :
x2 + x + 1 = 0 ou x3 + 1 = 0
Vamos resolver separadamente cada equação acima.
1) x2 + x + 1 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara para a equação do segundo grau ,
vem:
2) x3 + 1 = 0
Temos: x3 = -1 e portanto
Vamos então achar as raízes cúbicas do
número complexo z = -1 = -1 + 0i
Em caso de dúvidas no desenvolvimento abaixo, será um sinal
claro de que você está com dificuldades em Números Complexos.
Talvez, neste caso, seja interessante uma revisão desse assunto,
o que inclusive você pode fazer nesta home page, consultando
aulas anteriores aqui publicadas.
Vamos lá!
Podemos escrever: z = 1(cos180º +
i.sen180º)
Trata-se de um complexo de módulo 1 e argumento 180º.
Logo,
pela fórmula de radiciação de números complexos, vem:
Onde k = 0,1 ou 2 (reveja se necessário a
teoria dos números complexos nesta página).
Daí vem, substituindo sucessivamente k por 0, 1 ou 2:
K = 0 Þ z1
= 1(cos60º + i.sen60º) = ½ + Ö 3/2.i
K = 1 Þ z2
= 1(cos180º + i.sen180º) = -1 + i.0 = -1
K = 2 Þ z3
= 1(cos300º + i.sen300º) = ½ - Ö 3/2.i
Portanto, as raízes da equação dada, são:
x3 = ½ + Ö 3/2.i
x4 = -1
x5 = ½ - Ö 3/2.i
Observe que:
- a equação do 5º grau possui 5 raízes. (Lembre-se que uma equação algébrica de grau n possui n raízes reais ou complexas).
- encontramos uma raiz real (-1) e quatro raízes complexas. (Quando uma equação algébrica possui raízes complexas, elas são sempre em número par, ou seja 2,4,6,8,... raízes.
- se a+bi é raiz então o conjugado a - bi também é raiz (Isso justifica a conclusão acima).
- qual a soma das raízes da equação dada?
Pelas relações de Girard, sabemos que a soma das raízes da equação
Ax5 + Bx4 + Cx3 + Dx2 + Ex + 1 = 0
é dada por :S = x1+x2+x3+x4+x5 = - B / A .
- na equação dada (x5 + x4 + x3
+ x2 + x + 1
= 0), temos A = 1 e B =1.
Logo, concluímos que a soma S = - 1/1 = -1.
Resultado que você pode comprovar efetuando a soma direta das raízes, ou seja:
S = x1+ x2 + x3 + x4 + x5 = -1 .
Paulo Marques, Feira de Santana - BA