As pérolas do rajá

Nota: vamos inicialmente resolver o problema como foi proposto no capítulo XXIII do livro O HOMEM QUE CALCULAVA de Malba Tahan e, em seguida, resolver o problema de ordem genérica, ou seja, ao invés de (1/7) do enunciado original, vamos utilizar (1/n), onde n é um número inteiro positivo maior do que 1.

I – Um rajá deixou às suas filhas certo número de pérolas e determinou que a divisão se fizesse do seguinte modo: a filha mais velha tiraria uma pérola e 1/7 do que restasse; viria depois a segunda e tomaria para si duas pérolas e 1/7 do restante; a seguir a terceira jovem receberia três pérolas e 1/7 do que restasse. E assim, sucessivamente.
As filhas mais moças apresentaram queixa a um juiz, alegando que por esse sistema complicado de partilha, elas seriam fatalmente prejudicadas.
O juiz que – reza a tradição – era hábil na resolução de problemas, respondeu que as reclamantes estavam enganadas e que a divisão proposta pelo rajá era justa e perfeita.

Pergunta-se:
a) Qual o número de pérolas?
b) Quantas as filhas do rajá?

Solução:

Trata-se de um problema famoso, clássico, proposto no livro “O Homem Que Calculava” de
Malba Tahan , capítulo XXIII.

Seja x o número de pérolas do rajá.

Chamemos as filhas do rajá, de F₁, F₂, F₃, ...
Segundo o enunciado do problema, a filha mais velha F₁ retirou uma pérola e (1/7) do restante. Então, como existiam x pérolas, ao retirar uma, ficaram (x – 1) pérolas.
Desse restante, pela regra estabelecida pelo rajá, ela retirou (1/7) delas, ou seja: (1/7)(x – 1).
Chamando de n(F₁) o número de pérolas retiradas pela filha F₁, é óbvio que
n(F₁) = 1 + [(1/7)(x – 1)] = 1 + (x – 1)/ 7 = (7 / 7) + (x – 1) / 7 = (x + 6) / 7
Nota: observe que 7/7 = 1.

Ora, restaram x – n(F₁) = x – [(x + 6) / 7] = (7x / 7) – [(x + 6) / 7] = (6x – 6) / 7
Nota: observe que 7x / 7 = x

Agora, a filha F₂ vem e retira duas pérolas, conforme o enunciado.
Resta então, a seguinte quantidade de pérolas:
[(6x – 6) / 7] – 2 = [(6x – 6) / 7] – 14/ 7 = (6x – 20) / 7
Nota: lembre que 14/7 = 2.
Destas, ela retira (1/7), ou seja: (1/7) [(6x – 20) / 7] = (6x – 20) / 49

Portanto, o número de pérolas da filha F₂ será igual a:

n(F₂) = 2 + [(6x – 20) / 49] = (98 / 49) + [(6x – 20) / 49] = (6x + 78) / 49
Nota: lembre-se que 98/49 = 2.

Poderíamos agora, achar a expressão que define o número de pérolas da terceira filha F₃.
Mas, não precisa, porque o problema diz que “a divisão proposta pelo rajá era justa e perfeita” , o que significa que todas as filhas receberam quantidades iguais de pérolas. Portanto, n(F₁) = n(F₂) = n(F₃) = ...
Então, como n(F₁) = n(F₂), usando os resultados obtidos anteriormente, vem:
(x + 6) / 7 = (6x + 78) / 49

Basta resolver a equação do 1º grau acima.

Para eliminar o denominador 49, vamos multiplicar ambos os membros da igualdade acima por 49, o que não altera a igualdade. Fica:

49[(x + 6) / 7] = 49[(6x + 78) / 49]
Efetuando e simplificando, vem:
7x + 42 = 6x + 78
Igualando a zero, fica:
7x + 42 – 6x – 78 = 0
Efetuando as operações indicadas, fica:
x – 36 = 0, de onde tiramos x = 36.

Portanto, são 36 pérolas.

Vejamos então a distribuição das pérolas, conforme os dados do problema:
A filha mais velha F₁ retira 1 pérola, ficam 36 – 1 = 35 pérolas.
Destas, ela retira 1 / 7 ou seja (1 / 7) . 35 = 35/7 = 5. Logo, a filha F₁ retirou 1 + 5 = 6 pérolas.
Como é dito que todas as filhas recebem o mesmo número de pérolas, já que
“a divisão proposta pelo rajá era justa e perfeita”, e como restaram 36 – 6 = 30 pérolas, é claro que as 30 pérolas foram distribuídas com 30 / 6 = 5 filhas. Portanto, o número total de filhas é igual a 1 + 5 = 6.

Resposta: a) 36 pérolas b) 6 filhas

II – Um rajá deixou às suas filhas certo número de pérolas e determinou que a divisão se fizesse do seguinte modo: a filha mais velha tiraria uma pérola e (1/n) do que restasse; viria depois a segunda e tomaria para si duas pérolas e (1/n) do restante; a seguir a terceira jovem receberia três pérolas e (1/n) do que restasse. E assim, sucessivamente.
As filhas mais moças apresentaram queixa a um juiz, alegando que por esse sistema complicado de partilha, elas seriam fatalmente prejudicadas.
O juiz que – reza a tradição – era hábil na resolução de problemas, respondeu que as reclamantes estavam enganadas e que a divisão proposta pelo rajá era justa e perfeita.

Pergunta-se:
a) Qual o número de pérolas?
b) Quantas as filhas do velho e inteligente rajá?

Solução:

Seja x o número de pérolas do rajá.

Chamemos as filhas do rajá, de F₁, F₂, F₃, ...

Segundo o enunciado do problema, a filha mais velha F₁ retirou uma pérola e (1/n) do restante. Então, como existiam x pérolas, ao retirar uma, ficaram (x – 1) pérolas.
Desse restante, pela regra estabelecida pelo rajá, ela retirou (1/n) delas, ou seja: (1/n)(x – 1).
Chamando de n(F₁) o número de pérolas retiradas pela filha F₁, é óbvio que
n(F₁) = 1 + (1/n)(x – 1) = 1 + [(x – 1)/n] = (n/n) + (x – 1)/n = [(n + x – 1) / n]
Nota: observe que n/n = 1, para n ¹ 0.

Ora, restaram:
x – n(F₁) = x – [(n + x – 1) / n] = (nx / n) – [(n + x – 1) / n] = [(nx – n – x + 1) / n] pérolas.

Agora, a filha F₂ vem e retira duas pérolas, conforme o enunciado.
Resta então, a seguinte quantidade de pérolas:
[(nx – n – x + 1) / n] – 2 = [(nx – n – x + 1) / n] – (2n / n) = [(nx – 3n – x + 1) / n] pérolas.
Nota: lembre que 2n/n = 2, para n ¹ 0.
Destas, ela retira (1/n), ou seja: (1/n) [(nx – 3n – x + 1) / n] = [(nx – 3n – x + 1)] / n²

Portanto, o número de pérolas da filha F₂ será igual a:

n(F₂) = 2 + [(nx – 3n – x + 1)] / n² = (2n² / n²) + [(nx – 3n – x + 1)] / n² =
= [(2n² + nx – 3n – x + 1)] / n²
Nota: lembre-se que 2n² / n² = 2, para n ¹ 0.

Poderíamos agora, achar a expressão que define o número de pérolas da terceira filha F₃. Mas, não precisa, porque o problema diz que “a divisão proposta pelo rajá era justa e perfeita” , o que significa que todas as filhas receberam quantidades iguais de pérolas. Portanto, n(F₁) = n(F₂) = n(F₃) = ...
Então, como n(F₁) = n(F₂), usando os resultados obtidos anteriormente, vem:
[(n + x – 1) / n] = [(2n² + nx – 3n – x + 1) / n²]
Basta resolver a equação acima, em relação a x.

Para eliminar o denominador n², vamos multiplicar ambos os membros da igualdade acima por n², o que não altera a igualdade. Fica:

n²[(n + x – 1) / n] = n²[(2n² + nx – 3n – x + 1) / n²]
Efetuando e simplificando, vem:
n[(n + x – 1)] = 2n² + nx – 3n – x + 1
n² + nx – n = 2n² + nx – 3n – x + 1
Cancelando o termo comum nx em ambos os membros e igualando a zero, fica:
n² – n – 2n² + 3n + x – 1 = 0
Simplificando, fica:
– n² + 2n + x – 1 = 0
Multiplicando ambos os membros por ( - 1) o que não altera a igualdade, fica:
n² – 2n – x + 1 = 0
Isolando o termo x, fica:
x = n² – 2n + 1
Ora, observando atentamente o resultado acima, vemos que o segundo membro é igual ao produto notável
(n – 1)² . Portanto, temos:

x = (n – 1)² que é o número de pérolas procurado.

Nota: observe que o problema I resolvido no item anterior é um caso particular dessa solução geral,
na qual n = 7. Com efeito, fazendo n = 7, obteremos x = (7 – 1)² = 6² = 36 pérolas, resultado obtido no problema I, para 6 filhas.

A resposta genérica para o problema proposto é então:
a) número de pérolas = x = (n – 1)²
b) número de filhas = n – 1.

Glossário:

a) Glossário - dicionário de termos técnicos de uma arte ou ciência.
b) rajá – príncipe indiano . O feminino de rajá é rani.
Se você pensou que era rajaia (sic), enganou-se!
c) este problema famoso, aparece no capítulo XXIII do livro “O Homem Que Calculava” de autoria do Professor Júlio César de Mello e Souza - 1895/1974, ilustre brasileiro de pseudônimo Malba Tahan.
d) sic – expressão do Latim, que pode ser empregada entre parênteses no curso de uma citação, após uma palavra ou expressão errada, que foi escrita propositadamente.
e) Latim – língua falada em Roma, nos tempos do império romano. As missas da Igreja Católica eram proferidas em Latim. O Latim é usado até hoje, principalmente pelos advogados, pelos cientistas, entre outros. Citar frases em Latim, denota, nos tempos modernos, um certo grau de erudição, digna de gerar perplexidade, útil muitas vezes.

Vou contar um caso (como eu faria numa sala de aula real) : estava eu num aniversário, mergulhado a contragosto numa discussão que envolvia uma quase ciência. A conversa não parava, as pessoas tentavam infrutiferamente demonstrar conhecimentos. Ouvi frases vastas e várias! Vastas e várias!
Lá pelas tantas, quase entendiado (sic), resolvi arriscar a seguinte frase em latim: SUBLATA CAUSA TOLLITUR EFFECTUS! Como, diante do mistério ninguém ousa duvidar, seguiu-se um silêncio quase eterno. Muitos poucos entenderam o que eu, entediado, houvera dito: ELIMINADA A CAUSA, ELIMINA-SE O EFEITO!. A discussão desvaneceu-se aos poucos, e fomos todos juntos cantar os parabéns para o homenageado daquela noite, sem nenhum tipo de culpa em relação aos diálogos não acabados e não entendidos!

Paulo Marques – Feira de Santana – BA – 23 de março de 2005. 

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