5 questões da UFBa - década de 90 - Resolvidas

1 – UFBA 1990 – O polinômio x³ + 6x² + 15x + 14 é idêntico à expressão A(x+m)³ + B(x+n) para determinado valor de A, B, m e n. Calcule A+B+m+n.

Solução: 

Vamos desenvolver a expressão dada:
A(x³ + 3mx² + 3m²x + m³) + Bx + Bn = Ax³ + 3Amx² + 3Am²x + Am³ + Bx + Bn =
Ax³ + 3Amx² + (3Am² + B)x + Am³ + Bn

Como esta expressão é idêntica ao polinômio dado, os coeficientes dos termos de mesmo grau serão necessariamente iguais. Logo:
A = 1 (porque o coeficiente de x³ é igual a 1).
3Am = 6 donde conclui-se que m = 2, já que A = 1.
3Am² + B = 15, donde se conclui, substituindo os valores conhecidos (A e m) que o valor de B é igual a B = 3.
Finalmente, Am³ + Bn = 14.
Substituindo os valores conhecidos, vem:

1.2³ + 3.n = 14, de onde vem n = 2.
Logo, A + B + m + n = 1 + 3 + 2 + 2 = 8

Resposta: 8

2 – UFBA 1991 – O perímetro de um terreno de forma retangular é igual a 18m, e a área desse terreno é a maior possível. Determine o valor de 4.a + 2.b , sabendo que a e b são os valores das dimensões desse retângulo, em metros.

Solução:

Para simplificar a solução, é conveniente lembrar que todo retângulo de área máxima é um quadrado. Portanto, as medidas dos lados a e b são iguais. O perímetro do quadrado (soma das medidas dos lados) será então igual a 4a.
Logo, 4.a = 18 e portanto a = 18/4 = 9/2.
O problema pede para calcular 4.a + 2.b e como a = b, vem:
4.a + 2.b = 4.a + 2.a = 6.a = 6.(9/2) = 27.
Resposta: 27 metros (27m)
Nota: seria um erro crasso escrever 27 ms!

3 – UFBA 1992 – Seja S a soma das raízes da equação cosx – tgx.senx = 0 que pertencem ao intervalo [0, 2p ]. Determine S/p .

Solução:

Substituindo tgx por senx/cosx, vem: cosx – (senx/cosx).senx = 0
cosx – sen²x/cosx = 0

Efetuando as operações indicadas, vem:
(cos²x – sen²x) / cosx = 0

O numerador cos²x – sen²x é igual a cos2x. (fórmula do cosseno do dobro de um arco). 
Logo:
cos2x/cosx = 0, para cosx ¹ 0 (lembre-se que não existe divisão por zero).

Para que a fração seja nula, o numerador deverá ser igual a zero. Logo: cos2x = 0

Observe o seguinte detalhe simples porém, sutil: como x pertence ao intervalo [0,2p] , 2x pertencerá ao intervalo [0,4p].

Então, 2x  poderá assumir os seguintes valores: p/2, 3p/2, (p/2)+2p = 5p/2 e (3p/2)+2p=7p/2, pois:
cos(p/2) = cos(3p/2) = cos(5p/2) = cos(7p/2) = 0 .
Nota: obrigado Prof. Gabriel Moreno - Curso Cave Vestibulares - Juiz de Fora - MG, pela lembrança.

Logo, deveremos ter: 2x = p /2 ou 2x = 3p /2 ou 2x = 5p /2 ou 2x = 7p / 2, de onde concluímos que
x = p/4 ou x = 3p/4 ou x = 5p/4 ou x = 7p/4, que são as raízes procuradas.
A soma S será então: S = p /4 + 3p /4 + 5p/4 + 7p/4  = 16p/4 = 4p
Portanto, S/p = 4p/p = 4
Resposta: 4

4 – UFBA 1993 – Considere a função f(x) = C.10 ^{– k.x} , C > 0. Sabendo que f(0) = 9.f(1), determine - k + log 90 .

Solução: 

Temos: f(0) = C.10 ^{– k . 0} = C.10⁰ = C.1 = C
f(1) = C.10 ^{– k . 1} = C / 10 ^k
Podemos então escrever, pelo enunciado:
C = 9 . C/10 ^k
Simplificando, vem: 9.C = C. 10 ^k ou 9 = 10 ^k ou 10^k = 9, de onde concluímos pela definição de logaritmos que: k = log₁₀9 = log9.
Substituindo o valor de k na expressão que o problema pede para calcular, vem:
- k + log90 = - log9 + log90 = log90 – log9 = log(90/9) = log10 = 1
Resposta: 1

5 – UFBA 1995 – O trinômio y = x² + mx + n   admite 2 como raiz e tem valor mínimo para x = 3.
Calcular | mn | .

Solução: 

Se 2 é raiz, vem: 0 = 2² + m.2 + n ou 2m + n = -4.
Se o trinômio assume um mínimo para x = 3, sabemos que isto ocorre na coordenada x_v do vértice da parábola que representa graficamente o trinômio ou função quadrática.
A fórmula para x_v já sabemos de função quadrática que é : x_v = -b/2a onde a e b são os coeficientes da função quadrática 
y = ax² + bx + c.

Assim, vem: 3 = - m/2.1 e, portanto, m = - 6.
Como 2m + n = - 4, vem: 2(-6) + n = - 4; logo, n = 8.
Portanto, m.n = (-6).8 = - 48.
Daí, o módulo procurado será igual a: |- 48| = 48.
Resposta: 48

Paulo Marques, Feira de Santana - BA,  08/09/2001 - revisado em 14/12/2007.

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