1 - Sendo x, y e z números
naturais não nulos que satisfazem ãs condições:
x
+ y + z = 100
e
10x + 20y + 7z =
1000
podemos afirmar que o maior
valor possível para x é:
a) 58
b) 61
c) 74
d) 87
e) 91
SOLUÇÃO:
Da primeira equação, tiramos: z = 100
- x - y.
Substituindo na segunda equação, vem:
10x + 20y+ 7(100 - x - y) = 1000.
Desenvolvendo , vem:
10x+20y+700 -7x -7y = 1000 e portanto, 3x + 13y
= 300.
Logo, podemos escrever: x
= (300 - 13y) / 3, onde x e y são naturais não nulos.
Os valores possíveis para y na igualdade
acima (em vermelho), devem conduzir a valores de x naturais,
já que esta condição é
explicitada no enunciado da questão. Temos então:
| y | x |
| 1 | 287/3(não serve) |
| 2 | 274/3(não serve) |
| 3 | 87 |
| 4 | 248/3(não serve) |
Portanto o maior valor de x possível é 87, o que nos leva à alternativa D.
2 - A soma dos nove primeiros
termos de uma P.A. é 17874.
O valor do quinto termo é:
a) 1986
b) 1540
c) 1921
d) 1492
e) 1987
SOLUÇÃO:
Seja a P.A. de 9 termos: (a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9). Pela propriedade: a soma dos termos eqüidistantes de uma P.A é constante, vem:
a1 + a9 = a2 + a8 = a3 + a7 = a4 + a6 = 2.a5
Mas, pela fórmula da soma, vem: S9
= [(a1 + a9).9] / 2 , de onde substituindo os valores
dados no enunciado, fica: 17874 = [(a1 + a9) . 9]
/ 2 , de onde se conclui que a1 + a9 = 17874.2 /
9 = 3972.
Portanto 3972 = 2.a5 , de onde conclui-se
a5 = 1986. (Alternativa A).
3 - O preço de certa mercadoria aumentou 150%. Para que o preço da mercadoria volte a ser o que era antes do aumento, deve-se diminuir o novo preço de:
a) 40%
b) 250%
c) 150%
d) 80%
e) 60%
SOLUÇÃO:
Depois do aumento, o novo preço Pf
será igual a: Pf = P0 + 150%.P0
Portanto Pf = P0 + (150/100).P0
= P0 + 1,5.P0 = 2,5.P0 onde P0
é o preço inicial.
A variação de preço será
portanto igual a 2,5P0 - P0 = 1,5.P0.
Portanto, teremos de reduzir 1,5.P0 no
preço Pf = 2,5.P0, o que em termos de porcentagem
significa (1,5.P0 / 2,5.P0).100
= 150/2,5 = 60%, o que nos leva à alternativa E.
Obs: a multiplicação por 100 é
para obter o resultado em %.
4 - A soma das raízes da equação:
é:
a) 0
b) 1/4
c) 1/2
d) 1
e) 2
SOLUÇÃO:
Passando os termos negativos para o 2º membro, fica:
x2 + x2/2 + x2/4 + ... = x/3 + x/9 + x/27 + ...
Observe que ambos os membros representam a soma dos termos de PG decrescente e ilimitada. Logo, usando a fórmula S = a1 /(1-q) , vem:
x2 / (1-1/2) = (x/3) / (1-1/3) , já
que as razões das PGs são 1/2 e 1/3 respectivamente.
Logo: 2x2 = x / 2 , de onde vem: 4x2
- x = 0.
x(4x - 1) = 0 \
x = 0 ou x = 1/4.
Logo a soma das raízes será: 0+1/4
= 1/4, e portanto a alternativa correta é a letra B.
5 - As raízes da equação 2x2 - px - 1 = 0 são sena e cosa onde a é um número real. O valor de p é:
a) 0
b) 2
c) 4
d) 5
e) 1
SOLUÇÃO:
Sabemos que sendo x e x as raízes de ax2+bx+c=0,
temos:
x+x = - b/a e x.x =
c/a. Logo, sendo x= sena e x = cosa , vem, na equação
dada:
sena + cosa = -(-p)/2 e sena.cosa
= -1/2
sena + cosa = p/2 e sena.cosa
= -1/2
Multiplicando ambos os membros da segunda equação
por 2, fica:
2.sena.cosa = -1; mas, sen2a = 2sena.cosa (seno
do arco duplo).
Logo, sen2a = -1, de
onde podemos concluir sen2a = sen270º .
Como não nos interessa todas as soluções
trigonométricas, basta considerar a solução imediata
dada por 2 a = 270º
, de onde concluímos a = 135º.
Observe que a equação sen2a = -1 possui infinitas soluções, mas que não interessam para a resolução do problema proposto.
Como a = 135º, vem substituindo na primeira
equação ou seja:
sena + cosa = p/2
sen135º + cos135º = p/2
Mas, sen135º = Ö
2/2 e cos135º = - Ö
2/2, o que nos leva a p/2 = 0. Concluímos finalmente então
que p = 0 (alternativa A).
Paulo Marques - Feira de
Santana - BA, 03 de novembro de 2002