FUVEST - Sabendo que k é um número
real e que a parte imaginária do número complexo
z = (2+i).(k+2i) - 1 é zero, então k é
igual a:
A) - 4
B) - 2
C) 1
D) 2
E) 4
Solução:
Podemos escrever:
Ora, como a parte imaginária é nula,
vem que k - 4 = 0 \
k = 4.
Portanto, a alternativa correta é a letra
E.
Notas:
1) i2 = -1 onde i é a unidade
imaginária.
2) para dividir complexos, multiplica-se o numerador
pelo conjugado do denominador.
FUVEST - Sendo i a unidade imaginária, pergunta-se quantos números reais a existem para os quais
(a + i)4 é um número real?
A)1
B)2
C)3
D)4
E)infinitos
Solução:
Desenvolvendo o binômio de Newton, vem:
(a+i)4 = a4 + 4a3i
+ 6a2i2 + 4ai3 + i4 = a4
+ 4a3i - 6a2 - 4ai + 1
Agrupando convenientemente, vem:
(a+i)4 = (a4 - 6a2
+ 1) + (4a3 - 4a) i
Para que tenhamos um número real, a parte
imaginária tem de ser nula. Logo:
4a3 - 4a = 0 \
4a(a2 - 1) = 0 \
4a = 0 ou a2 - 1 = 0
Portanto, a = 0 ou a = 1 ou a = - 1.
Existem então 3 valores de a que tornam
(a+i)4 um número real e a alternativa correta é
a letra C.
FUVEST - Dado o número complexo z = Ö 3 + i, qual o menor valor do
número inteiro n > 0 para o qual zn é um número real?
A)2
B)4
C)6
D)8
E)10
Solução:
Vamos trabalhar com o número complexo na forma polar. Este é
o segredo deste problema. Temos então:
a) módulo: |
z| 2 =(Ö
3)2 + 12 \
| z|
= 2.
b) argumento: tgq
= b / a = 1 / Ö
3 = Ö 3 / 3 Þ
q = 30º
Portanto, o número complexo na forma polar
é:
z = 2(cos30º + i.sen30º)
Lembrando da fórmula
de Moivre , podemos escrever:
zn = 2n(cos30º.n + i.sen30º.n)
Para que zn seja um número real,
devemos ter a sua parte imaginária nula ou seja:
sen30º.n = 0
Para que o seno de um arco seja nulo, o arco deve
ser da forma k.180º onde k é um número inteiro.
Logo, 30º.n = k.180º
n = 6k onde k é um número inteiro
(k Î Z).
Portanto, n = ..., -6, 0, 6, 12, 18, ... obtidos
atribuindo-se valores inteiros a k. Como o problema pede o menor valor
positivo de n, concluímos que n = 6 e a alternativa correta é
a letra C.
Notas:
1) sen k.180º = sen k.p
= 0 , para todo k inteiro.
2)Fórmula de Moivre: [|
z| (cosq
+ isenq )]n
= | z|
n[cos(nq
) + isen(nq )]
Paulo Marques - Feira de
Santana - BA, 26 de outubro de 2002