Gastando 1000 dólares

Um grupo de pessoas gastou 1000 dólares num hotel. Sabendo-se que apenas alguns dos homens estavam acompanhados pelas esposas e que cada homem gastou 19 dólares e cada mulher gastou 13 dólares, pede-se determinar quantas mulheres e quantos homens estavam no hotel.

Solução:

Sendo x o número de homens e y o número de mulheres, podemos montar a seguinte equação:

19 x + 13 y = 1000.

Esta é uma equação do primeiro grau com duas incógnitas x e y. Pela natureza do problema, x e y são números inteiros e positivos, pois referem-se a quantidade de pessoas.

As equações do tipo a x + b y = c, com  a ,  b e  c inteiros , são denominadas equações diofantinas do primeiro grau a duas variáveis x e y. O estudo das equações diofantinas é objeto da Teoria dos Números, tema abordado nos cursos regulares de Matemática na Universidade.

Prova-se que se (x₀, y₀) é uma solução inteira de a x + b y = c , então as outras raízes serão dadas por:

x = x₀ – k . b / [mdc (a,b)]
y = y₀ + k . a / [mdc (a,b)]

onde  mdc(a,b) = máximo divisor comum de a e b   e  k é um número inteiro.

Para aplicar as fórmulas acima, teremos que achar pelo menos uma solução particular
(x₀ , y₀) . Para isto, observe o que segue:

19 x + 13 y = 1000

No início, pode parecer mágica mas, na seqüência, você acabará entendendo o desenvolvimento da solução.

Temos:

39 – 19 = 20
3.13 – 19 = 20
3.13 + 19 (- 1) = 20

Multiplicando ambos os membros por 50 (o que fará aparecer o número 1000 no segundo membro, perceberam?), vem:
50[3.13 + 19 (-1)] = 20.50
150.13 + 19(-50) = 1000
19(-50) + 13.150 = 1000

Vemos então imediatamente que o par ordenado (x₀, y₀) = (-50, 150) é uma solução de
19x + 13y = 1000. Logo, x₀ = - 50  e y₀ = 150.

Temos que mdc (19, 13) = 1  e da equação 19x + 13y = 1000, vemos que a = 19 e b = 13.

Substituindo nas fórmulas de resolução indicadas acima e repetidas abaixo, vem:
x = x₀ – k . b / [mdc (a,b)]
y = y₀ + k . a / [mdc (a,b)]

x = - 50 – k . 13 / 1 = - 50 – 13k      e     y = 150 + k . 19 / 1 = 150 + 19k

Em resumo:

x = -50 – 13k
y = 150 + 19k , sendo k um número inteiro.
Atribuindo-se valores inteiros a k, vamos obtendo as infinitas soluções inteiras da equação
19x + 13y = 1000.

Ocorre que, pelo tipo de problema, sendo x o número de homens e  y  o número de mulheres, somente interessam os valores inteiros positivos. Além disto, como é dito no enunciado que “apenas alguns dos homens estavam acompanhados pelas esposas”, subtende-se que o número de homens x é maior do que o número de mulheres y, ou seja: x > y

Como já sabemos que:

x = -50 – 13k
y = 150 + 19k

Poderemos escrever:
-50 – 13k > 150 + 19k
Resolvendo a inequação acima:
- 13k – 19k > 150 + 50
- 32k > 200
Multiplicando ambos os membros por (-1), a desigualdade muda de sentido.
32k < -200
k < -200 / 32
k < - 6,25
Ora, k sendo inteiro, o primeiro valor de k que satisfaz é k = -7 

Substituindo o valor de k nas soluções gerais, vem:

x = -50 – 13(-7) = -50 + 91 = 41
y = 150 + 19(-7) = 150 – 133 = 17

Portanto, são 41 homens e 17 mulheres.
O problema está então resolvido.

Verificação:
41 homens; cada um pagou 19 dólares, perfazendo um total de 41.19 = 779 dólares.
17 mulheres; cada uma pagou 13 dólares, perfazendo um total de 17.13 = 221 dólares.
Total geral = 779 + 221 = 1000 dólares.

Comentário final: Esta solução é única pois se você atribuir o próximo valor inteiro possível para k, que é –8, obteremos x = 54 e y = -2. Observe que sendo y o número de mulheres, o valor negativo não serve ao problema.

Agora resolva este:

Um grupo de pessoas gastou 690 dólares num hotel. Sabendo-se que apenas alguns dos homens estavam acompanhados pelas esposas e que cada homem gastou 18 dólares e cada mulher gastou 15 dólares, pede-se determinar quantas mulheres e quantos homens estavam no hotel.

Sugestão: para achar uma solução particular, parta de 18 – 15 = 3 e proceda conforme solução apresentada acima.

Resposta: este problema não tem uma única solução. As soluções possíveis são:
25 homens e 16 mulheres  ou  30 homens e 10 mulheres ou 35 homens e 4 mulheres.

Paulo Marques – Feira de Santana – BA – 29 de dezembro de 2002. 

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