O homem que sabia javanês

1 - Em quantos dos anagramas da palavra JAVANÊS as letras A não aparecem juntas?
a) 2520           
b) 520           
c) 1700           
d) 1800             
e) 720

Solução:

Já sabemos o que é um anagrama: palavra formada pela mudança de posição das letras que comparecem nela. Exemplo: AMOR é um anagrama da palavra ROMA; MORA é um anagrama da palavra RAMO, etc

Para calcular o número de anagramas da palavra JAVANÊS nos quais as letras A não aparecem juntas, basta calcular o número de anagramas nos quais as letras A aparecem juntas e subtrair do total de anagramas possíveis.

Conforme já sabemos da Análise Combinatória, o número total de anagramas da palavra JAVANÊS será dado por:

n = 7! / 2! =  7.6.5.4.3.2! / 2! = 2520

Nota: a divisão por 2! = 2.1 = 2 decorre da repetição da letra  A duas vezes.

Vamos agora calcular o número de anagramas nos quais as letras A aparecem juntas.

Para isto, basta considerar os anagramas do tipo AAJVNÊS, JAANSVÊ, etc  ou seja, considerar AA como um único elemento. Neste caso, é como se tivéssemos apenas 6 letras.

O número total de anagramas nestas condições será então:

m = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 anagramas

O número procurado será então igual a n – m = 2520 – 720 = 1800 que é a resposta do problema, o que nos leva tranquilamente à alternativa D.

2 - Quantos são os números de seis algarismos que são múltiplos de 188 e terminam em 188?
a) 20          
b) 19           
c) 31            
d) 188             
e) 30

Solução:

A forma geral dos números de seis algarismos que terminam em 188 é: 
N = n.10³ + 188, onde n é um número natural de três algarismos.
Exemplo: n = 123 Þ N = 123.10³ + 188 = 123000 + 188 = 123188

O problema exige que além de terminar em 188, o número deverá ser múltiplo de 188, ou seja, da forma 188.k onde k é um inteiro.

Assim, deveremos ter a seguinte igualdade:
n.10³ + 188 = k.188

Daí, vem:

n.10³ = k.188 – 188
n.10³ = (k – 1).188  Þ k – 1 = n.10³ / 188

Ora, se k é inteiro, k – 1 também será inteiro. Para que k – 1 seja inteiro, o quociente do segundo membro deverá ser também inteiro, ou seja, N = n.10³ / 188 deverá ser um número inteiro.

Observando que 188 = 2².47 teremos: 
N = n.10³ / 2².47 = n.1000 / 4.47 = n.250 / 47

Então, para que N seja inteiro, n deverá ser múltiplo de 47, ou seja, n deverá ter a forma geral n = p.47 onde p é inteiro.

Lembrando que n é um número de três algarismos, teremos que determinar os valores inteiros possíveis para p que satisfaçam à expressão n = p.47. (Lembre-se que n possui três algarismos e N possui seis algarismos).

O menor número de três algarismos é 100 e o maior é 999.
Temos então:
100: 47 = 2,1276...     e    999 : 47 = 21,2513...

Então, p pode variar de 3 até 21, admitindo portanto 21-3+1 = 19 valores possíveis, ou seja de 3 a 21 existem 19 números e, portanto, existirão 19 números  n  que satisfazem ao problema e, em consequência, existirão também 19 números N que satisfazem ao problema proposto, o que nos leva tranquilamente à alternativa B.

Se você quiser saber quais são os 19 números que satisfazem ao problema apresentado, basta substituir o valor de n = 47p na expressão geral do número N = n.10³ / 188 e fazer p variar de 3 até 21.

Teremos: N = n.10³ + 188 = 47p. 10³ + 188 = 47000p + 188. 
Fazendo p variar de 3 até 21, podemos construir a tabela a seguir:

p	N
3	141188
4	188188
5	235188
6	282188
7	329188
8	376188
9	423188
10	470188
11	517188
12	564188
13	611188
14	658188
15	705188
16	752188
17	799188
18	846188
19	893188
20	940188
21	987188

Observe que os números que satisfazem ao problema formam uma 
Progressão Aritmética de primeiro termo 141188, último termo 987188 e razão 47000.

Agora resolva este:

Quantos são os números de seis algarismos que são múltiplos de 356 e terminam em 356?
a) 10          
b) 11           
c) 21            
d) 356             
e) 33

Resposta: A

Nota: O título deste arquivo é uma simplíssima e singela homenagem ao grande escritor brasileiro - Afonso Henrique de LIMA BARRETO - 1881/1922 - um escritor quase esquecido!  Aprovado no vestibular em 1896 para Engenharia na então Escola Politécnica - RJ, teve que abandonar o curso em 1902 devido a graves problemas familiares: o seu pai enlouquecera!

Principais obras :
1904 - Clara dos Anjos
1909 - Recordações do escrivão Isaías Caminha
1915 - O triste fim de Policarpo Quaresma
1915 - Numa e ninfa
1919 - Vida e morte de M. J. Gonzaga de Sá
1920 - Histórias e sonhos
O homem que sabia javanês (conto) - publicado postumamente.

Paulo Marques – Feira de Santana – BA – 01 de dezembro de 2002 - editado em 08/05/2010

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