Exercícios Resolvidos II (Logaritmo, Equação e Poliedro)

1 - Determine o número de algarismos de x = 3¹⁵.5¹⁷

SOLUÇÃO:

Aplicando log decimal (base 10) a ambos os membros, vem:
logx = log(3¹⁵.5¹⁷) = log3¹⁵ + log5¹⁷ = 15.log3 + 17.log5. Então, fica:
logx = 15.log3 + 17.[log(10/2)] = 15.log3 + 17[log10 – log2]
logx = 15.log3 + 17[1 – log2]
logx = 15.log3 + 17 – 17.log2
Sabemos que, escritos com 4 casas decimais, os números irracionais log2 e log3 são iguais a: log2 = 0,3010 e log3 = 0,4771; portanto, logx = 15.0,4771 + 17 – 17.0,3010
Efetuando as contas, fica: logx = 19,0395

Ora, concluímos então que x possui 20 algarismos.

Nota: os valores de log 2 e log 3 não precisariam ser memorizados pelo aluno pois, num exame que necessitasse deles, eles seriam dados. Já para log5, qualquer banca examinadora não informaria o valor pois ele poderia ser determinado
através de log(10/2) = log 10 - log2 = 1 - 0,3010 = 0,6990, como fizemos acima.

Justificativa para o número de algarismos encontrado: se a característica (parte inteira) do logaritmo decimal de x for igual a c então o antilogaritmo (x) possui c+1 algarismos na sua parte inteira. Isto decorre da definição de característica de log decimal , vista num artigo anterior nessa página.

Exemplos para fixação:

Se logx = 3,5634 então x possui 4 algarismos na parte inteira.
Se logy = 25,7639 então y possui 26 algarismos na parte inteira.
Se logz = 47,8967 então z possui 48 algarismos na parte inteira, etc.

Nota: se você teve dificuldade em entender a solução desse problema, é um sinal claro que você terá que revisar as propriedades operatórias dos logaritmos.

2 - A equação em x e y, (2x+6y+a)² + (x+by -7)² = 0, admite infinitas soluções. Nestas condições, pede-se calcular o valor de Z = 10.b - a

SOLUÇÃO:

Ora, a única condição da soma acima ser nula é que:
(2x+6y+a) = 0
(x+by-7) = 0
Logo, teremos:
2.x + 6.y = - a
1.x + b.y = 7

Para o sistema de equações do 1º grau acima admitir infinitas soluções, os coeficientes das equações participantes deverão ser necessariamente proporcionais. Logo, vem:

portanto Z = 10b – a = 10.3 – (-14) = 30+14 = 44.

3 - O número de faces de um poliedro convexo de 20 arestas é igual ao número de vértices. Determine o número de faces do poliedro.

SOLUÇÃO:

Sabemos que sendo dado um poliedro de V vértices, F faces e A arestas, vale a célebre relação de Euler:
V + F = A + 2

É dado que A = 20 e V = F. Logo, substituindo, fica:

F + F = 20 + 2 ; logo, 2F = 22 e daí conclui-se que F = 11. Portanto, o poliedro possui 11 faces.

Paulo Marques - Feira de Santana - BA, 19 de novembro de 2002 - editado em 09/02/2013.