Vestibular V

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Os pontos A(-1,4) e B(3,6) determinam um dos diâmetros da circunferência de equação

a) x² + y² + 2x - 10y + 16 = 0
b) x² + y² + 2x + 10y + 21 = 0
c) x² + y² - 2x + 10y - 16 = 0
d) x² + y² - 2x - 10y + 21 = 0
e) x² + y² + 2x + 10y + 16 = 0

SOLUÇÃO:

Sendo AB um diâmetro, podemos concluir que a metade da distancia entre os pontos A e B é o raio R da circunferência e o ponto médio do segmento AB é o centro. Logo:

• O ponto médio C do segmento AB como já sabemos, será a média aritmética das coordenadas 
  de A e B.  
  Então: C(1,5).
• A equação reduzida da circunferência será: (x - 1)² + (y - 5)² = 5. Desenvolvendo as potências indicadas fica: x² -2x + 1 + y² -10y + 25 = 5 \ x²+y² -2x -10y + 21 = 0 é a equação procurada, e portanto a alternativa correta é a de número 4.

A reta s passa pelo ponto (0,3) e é perpendicular à reta AB onde A(0,0) e B é o centro da circunferência 
x² + y² - 2x -4y = 20. Então a equação de s é:

SOLUÇÃO:

Determinação do ponto B:
A equação da circunferência pode ser reescrita como: x² - 2x + 1 - 1 + y² - 4y + 4 - 4 = 20. Observando atentamente a expressão anterior, verificamos que ela é equivalente a: (x -1)² -1 + (y - 2)² - 4 = 20 
ou (x - 1)² + (y - 2)² = 25. Logo o centro da circunferência é o ponto B(1,2). 

NOTA: outra forma de determinar o centro C, seria usando as fórmulas vistas em Geometria Analítica V.

A equação da reta AB será então: y = mx + n , onde m é o coeficiente angular.
Como a reta passa no ponto (0,0), podemos escrever: 0 = m.0 + n \ n = 0.
Como a reta passa no ponto (1,2), podemos escrever: 2 = m.1 + 0 \ m =2 .
Ora, se a reta s é perpendicular à reta AB , então o produto dos seus coeficientes angulares é igual a menos um. Logo: 2.m_s = -1 \ m_s = -1/2 (coeficiente angular da reta s).
Então a equação procurada da reta s será: y = m_s x + n_s
Como a reta s passa no ponto (0,3) e m_s = -1/2 podemos escrever: 3 = (-1/2).0 + n_s \ n_s=3.
A equação da reta s é portanto: y = (-1/2).x + 3 ou , multiplicando ambos os membros por 2 vem: 
2y = -x + 6 ou 2y + x = 6 ou x + 2y = 6, e portanto a alternativa correta é a letra b.

Sendo x e y dois arcos trigonométricos que verificam as igualdades:
senx + cosx = 2 / 3 e sen³x + cos³x = 5 / 27, podemos afirmar que sen2x é igual a:

a) 1/9
b) 1/18
c) 1/27
d) 0,866
e) 2/7

SOLUÇÃO:

Vamos partir da seguinte identidade notável: (a+b)³ = a³ + b³ + 3ab(a+b)
Podemos escrever então:
(senx + cosx)³ = sen³ + cos³x +3(senx . cosx)(senx+cosx)

Substituindo os valores dados, vem:
(2 / 3)³ = (5 / 27) + 3(senx . cosx)(2 / 3) \ 8 / 27 = 5 / 27 + 2senxcosx. Ora, sabemos que
2senxcosx = sen2x (seno do arco duplo) . Logo, podemos escrever:
8 / 27 - 5 / 27 = sen2x \ 3/27 = sen2x \ sen2x = 1 / 9 e portanto a alternativa correta é a letra a .

Paulo Marques - Feira de Santana - BA, 21 de outubro de 2002

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