Vestibular II

FUVEST- 94 - 2ª fase 
O jogo da sena consiste no sorteio de 6 números distintos, escolhidos ao acaso, entre os números 1, 2, 3, ..., até 50. Uma aposta consiste na escolha (pelo apostador) de 6 números distintos entre os 50 possíveis, sendo premiadas aquelas que acertarem 4(quadra), 5(quina) ou todos os 6(sena) números sorteados. Um apostador que dispõe de muito dinheiro para jogar, escolhe 20 números e faz todos os C20,6 = 38760 jogos possíveis de serem realizados com esses 20 números. Realizado o sorteio, ele verifica que todos os 6 números sorteados estão entre os 20 que ele escolheu. Além de uma aposta premiada com a sena,

a) quantas apostas premiadas com a quina este apostador conseguiu?
b) quantas apostas premiadas com a quadra ele conseguiu?

Solução:
Dos 20 números apostados, 6 foram sorteados e evidentemente,14 não foram sorteados.
O número de quinas será então dado pelo número de modos possíveis de se escolher 5 números entre os 6 sorteados e 1 número entre os 14 que não foram sorteados. Percebe-se facilmente tratar-se de problema de combinações simples.

Logo: Nq = n.º de quinas = C6,5 . C14,1 = 6 . 14 = 84 (faça os cálculos; em caso de dúvida, reveja
Análise combinatória ).

Utilizando o mesmo raciocínio, o número de quadras será dado pelo número de modos possíveis de se escolher 4 números entre os 6 sorteados e 2 números entre os 14 que não foram sorteados.

Logo: Nqd = n.º de quadras = C6,4 . C14,2 = 1365.

Respostas:
a) 84 quinas
b) 1365 quadras

Os números reais a, b e c, dois a dois distintos, são tais que:

a3 + k.a + p = 0
b3 + k.b + p = 0
c3 + k.c + p = 0

Nestas condições, o valor da soma a+b+c é igual a:

a)1
*b) 0
c) k
d) -k
e) p

Solução:
Observando atentamente as 3 igualdades acima, podemos concluir que a, b e c são as raízes da equação algébrica x3 + k.x + p = 0, pois substituindo-se x por a, b ou c, obteremos as igualdades dadas. Logo a soma procurada é exatamente a soma das raízes da equação do 3º grau   x3 + kx + p = 0, que é equivalente a 
x3 + 0x2 + kx + p = 0.

Ora, sabemos que a soma das 3 raízes da equação a1 . x3 + a2 . x2 + a3 . x + a4 = 0 é dada pela seguinte Relação de Girard: 
x1 + x2 + x3 = - a2 / a1 . Daí, concluímos que no nosso caso, teremos:
a + b + c = - 0 / 1 = - 0 = 0, portanto resposta (b).

Paulo Marques - Feira de Santana - BA, 13 de setembro de 2002.

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