Vestibular I

Resolveremos a seguir, tres questões que compareceram nos vestibulares brasileiros. Matemática não tem idade!

USP-SP 67
Y = log tg 1º + log tg 2º + log tg 3º + ... + log tg 89º é igual a:
*a) 0
b) 1
c) 44,5
d) 89
e) 178

Solução: 
Da teoria, sabemos que a soma de logaritmos numa mesma base é igual ao logaritmo do produto, ou seja: 
logx + logy + ... + logz = log(x.y. ... .z). Então, poderemos escrever em relação à questão apresentada: 
Y = log(tg1º . tg2º . tg3º . ... . tg89º).
Sabemos também que se x e y são dois ângulos agudos cuja soma vale 90º (x+y = 90º , 
com x diferente de 0º e diferente de 90º) , temos que tgx . tgy = 1.

Ex.: tg30º . tg60º = (Ö 3/3).Ö 3 = 1; (veja que 30º+ 60º = 90º) .

Nestas condições, observando detalhadamente a expressão dada, podemos reescrevê-la como:
Y = log [(tg1º . tg89º) . (tg2º . tg88º) . (tg3º . tg87º) . ... . (tg45º . tg45º)]
Como todos os produtos dos termos entre parênteses são iguais a 1, teremos:
Y = log(1 . 1. 1 . ... . 1) = log 1 e portanto, Y = 0, pois sabemos que o logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero. Assim, a resposta certa é a de letra A.

UEFS-BA 97.1
Um pecuarista comprou algumas reses em 3 etapas diversas, totalizando 850 cabeças de gado. Pagou, na primeira compra, R$40,00 por cabeça, na segunda R$70,00 e na terceira, cuja quantidade de reses adquiridas correspondeu ao triplo da segunda, pagou R$100,00 por cabeça. Se vendeu todo o gado com um lucro líquido de 22,5% sobre a compra e recebeu R$15210,00 de lucro, o número de reses adquiridas, na segunda etapa, correspondeu a:

a) 40
b) 80
c) 120
*d) 160
e) 200

Solução: 
Consideremos o seguinte:
etapa 1: x cabeças de gado
etapa 2: y cabeças de gado
etapa 3: triplo da etapa 2, portanto, 3y cabeças de gado.
Assim, poderemos escrever:
x + y + 3y = 850 Þ x + 4y = 850. (eq. 1)
40x + 70y + (3y).100 = total gasto = T
O lucro foi 22,5% sobre T. Logo: (22,5% . T) = 15210,00 \ [22,5/100] . T = 15210 . Daí , tiramos:
T = 67600 (faça as contas)
Portanto, 40x + 70y + 300y = 67600 Þ 40x + 370y = 67600 Þ 4x + 37y = 6760. (eq. 2)
Substituindo o valor de x na eq.1, na eq.2 , teremos:
4(850 - 4y) + 37y = 6760 Þ 3400 - 16y + 37y = 6760 Þ 21y = 3360 Þ y = 160.

Ora, y é o número de reses adquiridas na segunda etapa. Portanto, a resposta certa é a letra D.

FAAP-SP - 82
Disputaram o campeonato paulista 11 clubes. Um clube jogou com cada um dos outros duas partidas, uma em cada turno do campeonato. No final, dois clubes ficaram empatados. Houve o jogo-desempate. O número total de jogos disputados foi:

a) 110
b) 121
c) 122
*d) 111
e) 220

Solução: 
Considere que o time A jogou contra o time B. É óbvio que os jogos AxB e BxA são iguais e, portanto, a ordem não altera o agrupamento, o que nos leva a concluir tratar-se de um problema de combinações simples. Logo, o número de jogos no primeiro turno será dado por C11,2 e como foram dois turnos, teremos um total de jogos igual a 2.C11,2. Mas como aconteceu a partida decisiva, precisamos acrescentar ao número acima, mais um jogo. Logo:

Número total de jogos = 2.C11,2 + 1 = T.
Efetuando os cálculos, vem:
T = 2.[(11!) / (2! . 9!)] + 1 = 2.[11.10.9! / 2.1.9!] = (2 .11 . 5) + 1 = 110 + 1 = 111.
Portanto, a resposta certa é a letra D.

Paulo Marques - Feira de Santana - BA - 15 de novembro de 1998

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