1 Qual o domínio da função y = arccos[log2 (x - 1)]?
Solução:
Sabemos que se b = arccosa então a = cosb
Então podemos escrever: cosy = log2x
Sabemos também que o campo de variação
do coseno é no intervalo [-1,1] e que só existe logaritmo
de número real positivo. Logo, vem:
Condições de existência da função
dada:
x - 1 >
0 \ x >
1.
-1 £
log2x £
1
Aplicando log na base 2 na segunda expressão,
fica:
- 1. log22 £
log2x £
1. log22
log22-1 £
log2x £
log22
Como a função logarítmica com
base maior do que 1 é crescente, podemos escrever:
2-1 £
x £ 2 ou 1/2
£
x £ 2
O domínio (ou campo de definição)
da função dada será a interseção das
duas condições ou seja:
1/ 2 £
x £ 2 e x >
1 Û 1 <
x £ 2.
Podemos então concluir que o domínio
da função dada é o intervalo:
D = (1, 2] = {x Î
R; 1< x £
2}
Observe que o único número inteiro
que pertence ao domínio da função dada é o
número 2.
Observe também que o domínio da função
em R (conjunto dos números reais) é um conjunto infinito
e, se considerarmos o domínio definido no conjunto Z dos números
inteiros, o domínio da função passa a ser um conjunto
unitário.
2 Simplifique a expressão:
Y = 9 + 99 + 999 + 9999
+ 9999...9 onde a última parcela possui n algarismos 9.
Solução:
Podemos escrever:
Y = (10 1) + (100 1) +
(1000 1) + ... + (10n 1)
Arrumando convenientemente,
vem:
Y = 10 + 100 + 1000 + ...
+ 10n n , onde n ι um nϊmero natural.
Não entendeu o ( n)
? Observe que 1 somado n vezes é igual a (- n).
A soma dos n primeiros termos
da progressão geométrica de razão dez , 10
+ 100 + 1000 + ... + 10n será
igual a:
Portanto, Y é igual
a:
que é a expressão
procurada.
Paulo Marques - Feira de
Santana - BA, 12 de setembro de 2002