Meu relógio marca 5h agora. Quando os ponteiros vão se encontrar?

Um relógio marca 5 horas; determine a hora na qual se dará a primeira superposição dos ponteiros das horas e dos minutos. Expresse a resposta em horas, minutos e segundos.

Solução:

Considere a figura a seguir:
Observe o seguinte:

1) o intervalo entre cada marcação num relógio corresponde a 30º . Isto é verdadeiro pois a circunferência completa representa 360º e existem 12 intervalos iguais (1 a 12).
Logo, 360º /12 = 30º .

2) o ponteiro das horas percorre 30º em 60 minutos.

3) o ponteiro dos minutos percorre 30º em 5 minutos.

Nota: o ponteiro dos minutos é então, 12 vezes mais rápido que o ponteiro das horas!

É claro que exatamente às 5 horas, o ponteiro dos minutos (M) vai estar na posição 12 e o ponteiro das horas (H) na posição 5, conforme indicado na figura acima. A partir deste momento (exatamente 5 horas), os ponteiros vão avançar, de forma que em algum instante os mesmos estarão superpostos, ou seja, ocuparão a mesma posição.
Exatamente neste momento, o ponteiro das horas (H) terá avançado um ângulo q e o ponteiro dos minutos (M) terá avançado um ângulo q + 150º , conforme se vê claramente na figura acima, pois ele terá avançado da posição 12 até a posição 5 e mais o ângulo q . Ora, de 12 a 5 existem 5 intervalos; como cada intervalo vale 30º, isto justifica o valor 150º pois 5.30º = 150º .

Podemos montar as seguintes regras de três:

a) ponteiro das horas

30º ............................ 60 minutos
q ............................... Dt minutos

Daí, vem que: 30 . Dt = 60 . q
Dividindo ambos os membros por 30, fica: Dt = 2q .

Nota: q = letra teta (minúscula) do alfabeto grego;
D = letra delta (maiúscula) do alfabeto grego; Dt = (delta t) - intervalo de tempo.

b) ponteiro dos minutos

30º ....................... 5 minutos
q + 150º ............... Dt minutos

Daí, vem que: 30 . Dt = 5 (q + 150º)
Dividindo ambos os membros por 5, fica: 6 Dt = q + 150

Temos então um sistema de equações do primeiro grau com duas incógnitas, ou seja:
6 Dt = q + 150
Dt = 2q
onde as incógnitas são Dt e q .

Para resolver o problema proposto basta calcular Dt que é o intervalo de tempo para os ponteiros coincidirem, a partir do ponto 5 da figura acima.

Ora, substituindo o valor de Dt = 2q na primeira equação, vem:
6 . 2q = q + 150
12q = q + 150
12q - q = 150
11q = 150
q = 150 / 11 graus
Como Dt = 2q , vem imediatamente: Dt = 2 . (150 / 11) = (300 / 11) minutos.

Efetuando a divisão de 300 por 11, encontraremos 27,27 27 27 27... minutos.

Portanto, o encontro dos ponteiros se dará às 5h + 27,27 27 27... minutos.
Vamos expressar o resultado acima em horas, minutos e segundos? Vamos.

Observe que 5h 27,27 27 27 27... min = 5h + 27,27 27 27 27 27... min
5h + 27,27 27 27 27 27 ... = 5h + 27 min + 0,27 27 27 27 27... min

Ocorre que 0,27 27 27 27 27 ... é uma dízima periódica simples. Vamos transformá-la numa fração ordinária.
Seja x = 0,27 27 27 27 27 ...
Multiplicando ambos os membros por 100, vem:
100x = 27,27 27 27 27 ...
100x = 27 + 0,27 27 27 27 27 ...
Mas, como 0,27 27 27 27 27 ... = x, vem, substituindo:
100x = 27 + x
100x – x = 27
99x = 27
x = 27 / 99 = 3 / 11 minutos

Logo, a resposta pode ser melhorada para: 5h 27 min + 3 / 11 min

Vamos transformar 3 / 11 min em segundos?

Como 1 min = 60 segundos (60 s), vem:
3 / 11 min = (3 / 11) . 60 s = (180 / 11) s = 16,36 36 36 36 ... s
Novamente caímos numa dízima periódica simples. Vamos transformá-la numa fração ordinária.

Nota: o problema, na sua essência, já está resolvido há muito tempo. Estamos apenas adequando a resposta ao que foi solicitado no enunciado, ou seja, expressar a resposta em horas, minutos e segundos.

Teremos então:

16,36 36 36 36 ... s = 16 s + 0,36 36 36 36 ... s

Fazendo a dízima periódica 0, 36 36 36 ... igual a y, vem:
y = 0, 36 36 36 36 ...
Multiplicando ambos os membros por 100, fica:
100y = 36, 36 36 36 36 ...
100y = 36 + 0,36 36 36 36 ...
Mas, 0,36 36 36 36 ... = y
Substituindo, teremos:

100y = 36 + y
99y = 36
y = 36 / 99 = 12 / 33 = 4 / 11

Portanto, a resposta do problema será:
Os ponteiros ficarão superpostos às 5h 27 min 16,36 36 36 ... s, ou, mais precisamente:
5 horas 27 minutos 16 4/11 segundos

Claro que o resultado poderia ser aproximado para 5h 27 min 16,4 s, mas o horário exato é:
5 horas 27 minutos 16 4/11 segundos = 5:27: 6 4/11 h .
Agora resolva este:
Determine o intervalo de tempo entre duas superposições consecutivas dos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio.

Comentário: Este problema pode parecer mais difícil do que o resolvido acima.
Mera ilusão. Basta você partir do horário 12 h (no qual os ponteiros das horas e dos minutos ficam coincidentes) e a partir daí, considerar que os ponteiros voltarão a coincidir após as 13h, ou seja, quando os ponteiros estiverem entre as marcações 1 e 2 do relógio. Faça um desenho, siga a metodologia aplicada no problema acima e conclua inevitavelmente que a resposta procurada é:
1hora 5 minutos 27 3/11 segundos = 1: 05 : 27 3/11 h .
Recomendo enfaticamente que você faça o desenho do relógio para ajudar a visualização e solução do problema.
Paulo Marques, 17 de maio de 2003, Feira de Santana – Bahia.

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