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Apagando alguns números |
Considere
que estão escritos com giz num quadro negro, os 100 primeiros
números naturais 1, 2, 3, 4, 5, ... , 100. Um dos alunos
decidiu – sabe-se lá porque – apagar esses números
de dois em dois, substituindo cada grupo de dois pela sua soma, ou
seja, apagando o 8 e o 12, ele escreve 20 no lugar, apagando o 3 e o
9 ele escreve 12 no lugar e assim sucessivamente. Ao final do
processo restará evidentemente um único número a
ser apagado. Este número que sobrou é par ou
ímpar?
Solução:
Observe
que ao substituir dois números x e y pela soma x
+ y , não ocorrerá nenhuma alteração no valor da soma
1 + 2 + 3 + ... + 100 que permanecerá
constante.
Veja o exemplo:
S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99 + 100
Apagando o 2 e o 3, por exemplo, e segundo a regra substituindo por 5, teremos:
S = 1 + (2+3) + 4 + 5 + ... + 99 + 100 = 1 + 5 + 4 + 5 + ... + 99 + 100
Portanto, é fácil concluir que após todas as substituições e apagamentos, o último número será exatamente a soma 1+2+3+ ... +100.
Logo,
o último número será S = 1 + 2 + 3 + ... + 100,
ou seja, a soma dos 100 primeiros termos de uma Progressão
Aritmética - PA de primeiro termo 1, razão 1 e
último termo 100.
Ora, dos nossos conhecimentos de PA
teremos imediatamente:
S = [(1 + 100).100] / 2 =
101.50 = 5050
Portanto,
o último número a ser apagado é 5050 que é
um número par.
Resposta:
par
Agora resolva
este:
Considere que estão escritos com giz num
quadro negro, os 30 primeiros números naturais 1, 2, 3, 4,
5, ... , 30. Um aluno decide apagar esses números de dois em
dois, substituindo cada grupo de dois pela sua soma, ou seja,
apagando o 7 e o 11, ele escreve 18 no lugar, apagando 13 e 9 ele
escreve 22 no lugar e assim sucessivamente. Ao final do
processo restará evidentemente um único número a
ser apagado. Este número que sobrou é par ou ímpar?
Resposta: ímpar
Mudando
de assunto
Um certo caminhão velho pode carregar
somente 60 sacos de cimento ou 360 sacos de areia. Se
foram colocados no velho caminhão 50 sacos de cimento, quantos
sacos de areia este velho caminhão poderia carregar sem
quebrar?
A)
32 B) 60 C) 46 D) 48 E) 52
Solução
:
Sendo u = 1 saco de cimento e w = 1 saco de areia, poderemos
concluir pelo enunciado que 60u = 360w. Dividindo ambos os membros
por 60, fica: u = 6w, ou seja, 1 saco de cimento eqüivale
a 6 sacos de areia.
Colocando
50 sacos de cimento sobre o caminhão, isto eqüivale a 50u
e como 1u = 6w, vem 50u = 50.6w = 300w
Como o caminhão
suporta sem quebrar 360 sacos de areia, o número adicional de
sacos de areia que ele poderá carregar será igual a
360w – 300w = 60w, ou seja, poderiam ser carregados mais 60
sacos de cimento. Portanto a alternativa correta é a B.
Agora
resolva este:
Um certo caminhão pode carregar
somente 500 sacos de cimento ou 2000 sacos de areia. Se
foram colocados no caminhão 320 sacos de cimento, quantos
sacos de areia este caminhão poderia carregar
sem quebrar?
A)
532
B) 72
C) 720
D) 1220
E) 640
Resposta: C
Paulo
Marques, 08 de fevereiro de 2003, Feira de Santana – Bahia.