Análise do preço de uma torta de maçã

UEFS 2002.2 – Uma torta de maçã de 25 cm de diâmetro é vendida por R$30,00, e uma de 30 cm, por R$40,00. Sabe-se que esses preços são obtidos pela equação P = k.d² + D , onde D são as despesas gerais, k uma constante real não nula, e P, o preço de venda da torta. Se D não varia com o diâmetro da torta, então o quociente D / k, em reais, é igual a:
A) 100
B) 200
C) 250
D) 300
E) 400

Solução :

Da simples leitura do enunciado, poderemos escrever:

P = k.d² + D
Sendo P = R$30,00, o diâmetro da torta mede 25 cm
Sendo P = R$40,00, o diâmetro da torta mede 30 cm

Substituindo, fica:

30 = k.25² + D
40 = k.30² + D

Subtraindo as igualdades, membro a membro, vem:

40 – 30 = k.30² + D – k.25² – D
10 = k.30² – k.25²
10 = k.(30² – 25²)
Lembrando que a² – b² = (a + b) (a – b), podemos simplificar o cálculo acima:

10 = k.(30 + 25)(30 – 25)
10 = k.55.5
10 = k.275
Daí tiramos k = 10 / 275

Para determinar o valor de D, voltemos a uma das igualdades acima:

40 = k.30² + D
Substituindo o valor encontrado para k, teremos:
40 = (10 / 275).900 + D , de onde concluímos que o valor de D será:
D = 40 – (10 / 275).900
D = 40 – 9000 / 275
D = (40.275 / 275) – 9000 / 275
D = 11000 / 275 – 9000 / 275
D = 2000 / 275

Logo, o quociente D / k procurado, será igual a:

D / k = (2000 / 275) / (10 / 275) = 2000 / 10 = 200

Portanto, a alternativa correta é a de letra B.

Agora resolva este:

Qual o preço a ser cobrado por uma torta de 1m de diâmetro, considerando-se os dados do problema
anterior ?

Resposta : P = k.d² + D = (10 / 275).d² + (2000 / 275)
Faça agora d = 1m = 100 cm e conclua que a torta custaria aproximadamente R$390,91.

Agora uma pergunta: você pagaria quase 391 reais por uma torta de um metro de diâmetro? Considerando-se que o real está difícil de ganhar (eh eh eh...), muito provavelmente e usando o bom senso, não! O cálculo entretanto, está absolutamente correto. O problema é que o modelo adotado (a equação P = k.d² + D para o cálculo do preço da torta) , deve funcionar para valores razoáveis do diâmetro d da torta. Por exemplo, não obstante ser possível usar a fórmula P = k.d² + D para o cálculo do preço de uma torta de 10 quilômetros de diâmetro (esta, nem o Chaves e o Kiko agüentariam! )... eh eh eh ... , não seria razoável fazê-lo, pois isto iria contrariar o bom senso ! Uma torta de 10 km de diâmetro não pode existir fisicamente !

De uma forma geral, ao se adotar um modelo matemático para a descrição de um determinado problema, deve-se sempre atentar para os limites possíveis das variáveis envolvidas. O conjunto dos valores possíveis para uma variável é comumente conhecido como campo de definição ou domínio. Veja mais sobre domínio ou campo de definição de uma função.

Paulo Marques, Feira de Santana – BA – 11 de agosto de 2002 - revisado e ampliado em 09/07/2009.

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