Par ou ímpar

As duas questões a seguir, foram enviadas pelo Professor João Mesquita - RN. As soluções também são de sua autoria. Fiz apenas os comentários e as adaptações necessárias para a publicação na linguagem html.

1 - De quantas maneiras poderemos escrever 103 como a soma de dois números primos?
a) uma
b) duas
c) infinitas maneiras
d) nenhuma maneira
e) nenhuma das respostas anteriores

Solução: Sejam a e b os dois números cuja soma é 103. Então a + b = b + a = 103. Sendo a soma igual a 103 que é um número ímpar, obrigatoriamente uma das parcelas será um número par. 
Nota: Lembre-se que: "par + par = par; ímpar + ímpar = par e par + ímpar = ímpar."

Ora, como é dito que os números são primos e sendo um deles par, concluímos inevitavelmente que um dos  números será igual a 2 pois 2 é o único número primo que é par. Nestas condições, as igualdades anteriores ficam: 2 + b = 103 ou 2 + a = 103, de onde tiramos b = 101 ou a =101. Então, a solução do problema proposto é única, o que nos leva tranquilamente à alternativa A.

2 - Qual é o menor número inteiro positivo maior do que 1 que divide 7⁹⁵+5²³?

Solução: Observe que as bases das potências são números ímpares; então as potências serão também números ímpares. Veja os exemplos a seguir:
7¹ = 7
7² = 49
7³ = 343
...
5¹ = 5
5² = 25
5³ = 125
...
...

Ora, já sabemos que a soma de dois números ímpares é sempre um número par. Então, a soma 7⁹⁵+5²³ será um número par. Como o menor número maior do que 1 que divide um número par é 2, esta é a resposta do problema proposto.

Nota: estas duas questões simples identificam-se plenamente com a citação: "Matemática é transpiração mais inspiração"!

Paulo Marques – Feira de Santana – BA – 31/03/2011     VOLTAR