Postes

1 – Uma construtora terá que implantar postes telegráficos ao longo de uma estrada. Se os postes forem implantados a 25 metros de distância um do outro, irão faltar 150 postes; se os postes forem implantados a 30 metros um do outro, irão sobrar 70 postes. Pede-se calcular o comprimento da estrada.

Solução:

Este problema foi enviado para solução pelo visitante do site, Jefferson S.; ei-la:

Sejam P1, P2, P3, P4,  ... , os postes a serem implantados. A distância entre dois postes contíguos é conhecida como vão; observe na figura abaixo que os 3 postes P1, P2, P3 determinam 2 vãos (P1P2 e P2P3); os 4 postes P1, P2, P3, P4 determinam 3 vãos (P1P2, P2P3 e P3P4); de uma forma generalizada, poderemos concluir que se tivermos n postes, ficarão determinados (n - 1) vãos e, reciprocamente, (n - 1) vãos, corresponderão a n postes. 

o-----------o-----------o-----------o------------  
P1          P2           P3          P4  ...  

Vamos supor que a construtora disponha de n postes e seja L o comprimento da estrada. 

Observando a figura acima, poderemos escrever com base no enunciado, para vãos de 25 metros:
L = [(n + 150) - 1].25

Analogamente, poderemos escrever a seguinte igualdade, para vãos de 30 metros:
L = [(n - 70) - 1].30

Como trata-se da mesma estrada, poderemos igualar os segundos membros, resultando:
[(n + 150) - 1].25 = [(n - 70) - 1].30

A igualdade acima é uma equação do primeiro grau em n. Vamos resolvê-la:
(n + 149).25 = (n - 71).30
25n + 3725 = 30n - 2130 
25n - 30n = - 2130 - 3725
-5n = -5855 ===> n = -5855/-5 = 1171
Ora, n é o número de postes que a construtora dispõe para implantar na estrada, ou seja n = 1171 postes para a construção pretendida. E como o comprimento da estrada é L e já sabemos que L = [(n + 150) - 1].25 = [(n - 70) - 1].30, basta substituir o valor de n numa das igualdades. Então, teremos:

L = [(1171 + 150) - 1].25 = 1320.25 = 33000 metros = 33 km

Portanto, o comprimento da estrada é de 33 km.

Comentários e verificação:

Em 33000 metros existem 33000/25 = 1320 vãos de 25 metros e, pelo que vimos acima, isto corresponde a 1321 postes. Como a construtora só dispõe de 1171 postes, irão faltar 1321 - 1171 = 150 postes.

No caso dos vãos serem de 30 metros, teremos, analogamente: em 33000 metros existem 33000/30 = 1100 vãos de 30 metros , o que corresponde a 1101 postes. Como a construtora dispõe de 1171 postes, irão sobrar 1171 - 1101 = 70 postes.

2 – Agora resolva este:

Uma construtora terá que implantar postes telegráficos ao longo de uma estrada. Se os postes forem implantados a 25 metros de distância um do outro, irão faltar 150 postes; se os postes forem implantados a 30 metros um do outro, irão sobrar 70 postes. Pede-se calcular o comprimento da estrada.
Resposta: 33 km

Notas: 
1 - repeti a questão para forçar você a pegar caneta e papel e desenvolver a solução. Somente lendo a questão, parece que aprendeu mas, não é bem assim. Lembre-se do que Confúcio (551 - 479 A.C.) disse: "O que eu ouço, eu esqueço. O que eu vejo, lembro. O que eu faço, aprendo".

2 - Mantive o enunciado na forma que foi enviada, mas, não resisto a fazer um comentário: os postes implantados com os vãos de 25 ou 30m resultaria num verdadeiro "paliteiro" ao lado da estrada; na prática, os vãos seriam bem maiores.

Paulo Marques, 12/02/2011 - Feira de Santana - BA     VOLTAR