| Gastronomia dos juvenis |
Uma escola realizou uma pesquisa sobre
os hábitos alimentares de todos os seus alunos. Alguns resultados dessa
pesquisa foram:
82% do total de alunos gostam de chocolate;
78% do total de alunos gostam de pizza;
75% do total de alunos gostam de batata frita.
Então, é correto afirmar que, nessa escola, a porcentagem de alunos que
gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita, é, no
mínimo:
A) 25%
B) 30%
C) 35%
D) 40%
E) faltam dados para a resposta
Solução:
Nota:
este problema interessante, foi resolvido pelos diletos amigos
potiguares, Professores João Mesquita e Carlos Gomes - Curso Especial de
Matemática - CEM - Natal - RN, e enviado para publicação. Fiz apenas algumas adaptações para a publicação em formato HTML,
além de algumas inserções e comentários pertinentes.
Veja a figura a seguir, a qual ajudará sobremaneira o entendimento da
solução:
Observando atentamente a figura acima, poderemos escrever as seguintes
igualdades:
a+b+d+x=82
b+c+e+x=78
f+d+e+x=75
a+b+c+d+e+f+x=100
Nota: a última igualdade justifica-se pelo fato de
que a soma do primeiro membro representa o todo, ou seja 100%.
Somando membro a membro as três primeiras igualdades, teremos:
a+c+f+2b+2d+2e+3x = 82+78+75=235
Então, a nossa igualdade é em resumo:
a+c+f+2b+2d+2e+3x =235
A presença do número 2 e do número 3, sugere fortemente que a igualdade seja
reescrita como:
a+c+f+2b+2d+2e+2x+x = 235
Colocando o 2 em evidencia, vem:
a+c+f+2(b+d+e+x)+x = 235
Neste ponto do problema, João e Carlos tiveram a seguinte idéia brilhante:
adicionar a quantidade a+c+f aos dois membros da igualdade, como uma forma de
propiciar uma fatoração conveniente. Vejamos:
(a+c+f) + a+c+f + 2(b+d+e+x) + x = 235 + (a+c+f)
Ora, isto pode ser reescrito como:
2(a+c+f) + 2(b+d+e+x) + x = 235 + (a+c+f)
Ou na forma equivalente, colocando o 2 em evidência:
2(a+c+f+b+d+e+f+x) + x = 235+(a+c+f)
Mas, já sabemos da quarta igualdade que a+b+c+d+e+f+x=100
Substituindo, fica:
2.100 + x = 235 + (a+c+f)
200 + x = 235 + (a+c+f)
Então, vem que x = 35 + (a+c+f)
Olhando novamente a figura inicial (reproduzida abaixo), vemos que x é a nossa
solução.
Ora, os valores de a, c, f , referem-se a quantidade de alunos e, portanto, são
números positivos ou nulos. Logo, para que x seja mínimo, o valor da soma
a+c+f terá que necessariamente ser igual a zero. Qualquer valor diferente
de zero, já que a, c, f são positivos, não retornaria um valor mínimo para
x.
Logo e finalmente o valor mínimo de x será igual a x = 35+0 = 35, o que nos
leva tranquilamente à alternativa C.
Carlos Gomes,
João Mesquita - Natal
- RN, Paulo Marques, Feira de Santana -
BA - 20 de abril 2009.