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Fatorial de 18 |
Quais os três últimos algarismos do fatorial de 18?
a) 1, 2 e 6
b) 1, 0 e 8
c) 0, 0 e 0
d) 3, 0 e 4
e) nenhuma das respostas anteriores.
Solução:
Já sabemos que o fatorial de um número natural n maior ou igual a 2 é dado por:
n! = 1.2.3.4.5. ... . n
Exemplos:
2! = 1.2 = 2
3! = 1.2.3 = 6
4! = 1.2.3.4 = 24
5! = 1.2.3.4.5 = 120
6! = 1.2.3.4.5.6 = 720
7! = 1.2.3.4.5.6.7 = 5040
8! = 1.2.3.4.5.6.7.8 = 40320
e assim sucessivamente.
O problema pede para determinar os três últimos algarismos do fatorial de 18 ou seja, de
18! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18
Poderíamos saber isto simplesmente efetuando o produto acima, mas isto não seria nada criativo e também seria muito trabalhoso.
Observe que poderemos escrever o produto acima, na forma fatorada:
18! = 1.2.3.22.5.2.3.7.23. 32.2.5.11.22.3.13.2.7.3.5.24.17.32.2
onde substituímos os números compostos 4, 6, 8, 9, 10,12, 14, 15, 16 e 18 por seus valores decompostos em fatores primos, a saber:
4 = 22
6 = 2.3
8 = 23
9 = 32
10 = 2.5
12 = 22.3
14 = 2.7
15 = 3.5
16 = 24
18 = 2.32
Observe que no produto acima os números 3, 5, 7, 11, 13 e 17 não podem ser decompostos pois já são números primos.
Temos então:
18! = 1.2.3.22.5.2.3.7.23. 32.2.5.11.22.3.13.2.7.3.5.24.17.32.2
Efetuando os produtos das potencias de mesma base, fica:
18! = 1.216.38.53.72.11.13.17
Poderemos escrever o produto acima na forma:
18! = 1.23.213.38.53.72.11.13.17
Ou ainda,
18! = 1.23. 53 .213. 38.72.11.17 = (2.5)3.213.38.72.11.13.17
18! = 103. 213.38.72.11.13.17 = 1000. 213.38.72.11.13.17
Ora, o produto 213.38.72.11.13.17 é um número inteiro positivo (um número natural) n.
Logo, 18! = 1000.n
Já sabemos que todo número natural multiplicado por 1000, termina em 000. Logo, os últimos três algarismos de 18! serão zeros, o que nos leva tranquilamente à alternativa C.
Agora resolva este:
Quais os três algarismos finais de 15! ?
Resposta: 0, 0 e 0
Apenas como curiosidade, apresentamos abaixo, uma tabela contendo o valor de alguns fatoriais, até 18.
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
8! = 40320
9! = 362880
10! = 3 628 800
11! = 39 916 800
12! = 479 001 600
13! = 6 227 020 800
14! = 87 178 291 200
15! = 1 307 674 368 000
16! = 20 922 789 888 000
17! = 355 687 428 096 000
18! = 6 402 373 705 728 000
Somente a título ilustrativo, a população mundial em 2002, é da ordem de 6 bilhões de pessoas, ou seja, um número próximo a
13! = 6 227 020 800.
Paulo Marques, 27 de julho de 2002 – Feira de Santana – BA; editado em 23/12/2012.
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