Números Congruentes - apenas introduzindo o conceito 1 - Introdução
O conceito de números inteiros congruentes é devido a Gauss - Karl Friedrick Gauss - físico, matemático e astrônomo alemão (1777 - 1855), um dos estudiosos da Teoria dos Números.
A Teoria dos Números estuda as propriedades dos números inteiros, usando métodos avançados. É uma disciplina obrigatória nos cursos regulares de Matemática, na Universidade.
Entre outros precursores dos estudos da Teoria dos Números, podemos citar:
Diophantus - 210 d.C./290 d.C. - matemático grego
Pierre de Fermat - 1601/1665 - matemático francês
Leonhard Euler - 1707/1783 - matemático suiço
Adrien Marie Legendre - 1752/1833 - matemático francês
A Teoria dos Números, entretanto, tem os seus primórdios no mundo antigo. Por exemplo, Erathostenes (276 a.C./194 a.C - matemático norte africano - nascido em Cyrene, uma colônia grega do norte da África na época) e Euclides (325 a.C./265 a.C. - matemático grego, autor da célebre obra "Os elementos"), já tinham desenvolvido estudos sobre os números primos, assunto que é objeto da atenção especial dos matemáticos, até os dias de hoje.2 - Definição
Sejam a e b dois números inteiros. Diremos que o número a é congruente ao número b módulo m , onde m é um número inteiro não nulo, se e somente se, a diferença a - b for divisível por m ¹ 0.
A congruência dos números a e b módulo m, será indicada pelo símbolo a º b (mod m) .
Teremos, pela definição:
a º b (mod m) Û a - b = k . m , onde k e m são números inteiros, com m não nulo.Podemos dizer que os números a e b são côngruos ou congruentes segundo o módulo m, ou simplesmente congruentes módulo m.
Exemplos:
a) 10 º 2 (mod 4) porque 10 - 2 = 8, e 8 é divisível por 4.
b) 35 º 10 (mod 5) porque 35 - 10 = 25 e 25 é divisível por 5.
c) 12 º 2 (mod 5) porque 12 - 2 = 10 e 10 é divisível por 5.3 - Uma aplicação prática da relação de congruência: os calendários
Vamos considerar, por exemplo, o calendário do mês de Janeiro do ano 2000:
D S T Q Q S S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 Observe que em cada coluna, estão dispostos números que são congruentes,
segundo o módulo 7.
No Domingo, estão os números congruentes com 2, módulo 7.
Na Segunda, estão os números congruentes com 3, módulo 7.
Na Terça, estão os números congruentes com 4, módulo 7.
Na Quarta, estão os números congruentes com 5, módulo 7.
Na Quinta, estão os números congruentes com 6, módulo 7.
Na Sexta, estão os números congruentes com 7, módulo 7.
No Sábado, estão os números congruentes com 1, módulo 7Por exemplo, em que dia da semana vai cair o dia 25/01/2000, sem consultar o calendário acima?
Basta procurarmos um número congruente com 25, módulo 7.
Dividindo 25 por 7 dá 3 e resto 4.
Logo, 25 º 4(mod 7) e como 4 corresponde a uma Terça-feira (veja na tabela acima), concluímos que o dia 25/01/2000 cairá numa Terça-feira.Exercício Resolvido
Resolva a seguinte equação de congruência em Z.
Obs.: Z = conjunto dos números inteiros.
5x º 4 (mod 3)SOLUÇÃO:
Teremos: 5x - 4 = 3.k onde k é um número inteiro.
5x = 3k + 4 \ x = (3k + 4) / 5, com a condição de 3k + 4 ser múltiplo de 5 e k inteiro.
Logo, como os múltiplos de 5 são 0, ± 5, ± 10, ± 15, ± 20, ... , vem:
3k + 4 = 0 Þ k = -4/3 (não serve pois k tem de ser inteiro).
3k + 4 = 5 Þ k = 1/3 (não serve pois k tem de ser inteiro).
3k + 4 = -5 Þ k = -3
3k + 4 = 10 Þ k = 2
3k + 4 = -10 Þ k = -14/3 (não serve pois k tem de ser inteiro).
3k + 4 = 15 Þ k = 11/3 (não serve pois k tem de ser inteiro).
3k + 4 = -15 Þ k = -19/3 (não serve pois k tem de ser inteiro).
3k + 4 = 20 Þ k = 16/3 (não serve pois k tem de ser inteiro).
3k + 4 = -20 Þ k = - 8
3k + 4 = 25 Þ k = 7
3k + 4 = -25 Þ k = -29/3 (não serve pois k tem de ser inteiro).
3k + 4 = 30 Þ k = 26/3 (não serve pois k tem de ser inteiro).
3k + 4 = -30 Þ k = -34/3 (não serve pois k tem de ser inteiro).
3k + 4 = 35 Þ k = 31/3 (não serve pois k tem de ser inteiro).
3k + 4 = -35 Þ k = -13
.......................................
.......................................Observe que os valores de k que satisfazem ao problema, são:
k = -3, 2, -8, 7, -13, ...
Podemos inferir que:
Valores positivos de k: 2, 7, 12, 17, ...
Valores negativos de k: -3, -8, -13, -18, ...Então, as soluções da equação dada serão:
x = (3k + 4) / 5
k = 2 Þ x = 2
k = 7 Þ x = 5
k = 12 Þ x = 8
k = 17 Þ x = 11
..........................
..........................
k = -3 Þ x = -1
k = -8 Þ x = -4
k = -13 Þ x = -7
..........................
..........................Os números que satisfazem à equação dada, escritos em ordem crescente, são:
... , -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, ...Portanto, o conjunto solução da equação dada é o conjunto
S = {..., -7, - 4, -1, 2, 5, 8, 11, ... }
Observe que S é um conjunto infinito.Agora, resolva a seguinte equação de congruência em Z:
x º 2(mod 4)
Resposta: S = {..., -6, -2, 2, 6, 10, 14, ...}
Feira de Santana - Paulo Marques, 02 de outubro de 1999.