Um expoente no Colégio Naval em 1997

Considere as igualdades abaixo:

 

O valor de 4x² - 3y² é:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Nota: Questão do Colégio Naval – 1997.

Solução:

Vamos inicialmente recorrer ao produto notável
(a + b) (a – b) = a² – b²

Observe que segundo a igualdade do produto notável acima, poderemos escrever:
(2 + Ö 3) (2 – Ö 3) = 2² – (Ö 3)² = 4 – 3 = 1

Então, é fácil concluir que 2 – Ö 3 = 1/ (2 + Ö 3)
Fazendo (2 + Ö 3)¹⁹⁹⁷ = k , poderemos inferir que:

(2 – Ö 3)¹⁹⁹⁷ = [1 / (2 + Ö 3)]¹⁹⁹⁷ = 1¹⁹⁹⁷ / (2 + Ö 3)]¹⁹⁹⁷ = 1 / (2 + Ö 3)]¹⁹⁹⁷ = 1 / k

Substituindo em x e y acima, teremos:

Então, b = 4x² – 3y² = [k+(1/k)²] – [k-(1/k)²]= k² + 2 + (1/k)² – (k² – 2 + (1/k)²
Nota: a passagem acima justifica-se pelos seguintes e tradicionais produtos notáveis:
(A ± B)² = A² ± 2.A.B + B² , para todo A e B, ou seja: "o quadrado de uma soma (ou diferença) de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais (ou menos) o dobro do produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo".

Logo, efetuando as operações indicadas no segundo membro acima (em negrito), fica:

b = k² + 2 + (1 / k)² – k² + 2 – (1 / k)²

Cancelando os termos opostos (simétricos) k² e -k² e também (1 / k)² e -(1 / k)² , resulta finalmente: b = 4, o que nos leva tranquilamente à alternativa E.

Paulo Marques – 07/09/2002 – Feira de Santana – BA - editado e ampliado em 18/03/11.

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