Exercícios Resolvidos XXI: Um certo binômio de Newton

Determine o termo independente de x, no desenvolvimento do binômio
[(x + 1/x)(x - 1/x)]⁶ . 

Solução: 
[(x + 1/x)(x - 1/x)]⁶ = (x² – 1/x²)⁶
O termo geral de (a + b)ⁿ é dado por:
T_p+1 = C_n,p . a^p.b^n-p

Logo,
T_p+1 = C_6,p . (x²)^p . (-1/x²)^6-p
T_p+1 = C_6,p . x^2p . (-1)^6-p/x^2(6-p) = C_6,p . x^2p . (-1)^6-p/x ^12-2p
T_p+1 = C_6,p . (-1)^6-p . x^{2p – 12 –(-2p)} = (-1)^6-p . C_6,p . x^4p-12

Para que o termo seja independente de x deveremos ter:
4p – 12 = 0 de onde vem p = 3.

Substituindo, fica:
T_p+1 = T₄ = (-1)^{6 - p} . C_6,3 = (-1)^{6 – 3} . 6!/3!.(6-3)!
Observe que x^4p-12 para p = 3, é igual a x⁰ = 1. 

Logo, teremos:
T₄ = (-1)³ . 6.5.4.3!/3!.3.2.1 = (-1).20 = - 20
Portanto, -20 é a resposta procurada. 

Paulo Marques, Feira de Santana – BA, 07 de agosto de 2000. 

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